Logaritmisk skala

Karakteristikker ses ofte afsat i et logaritmisk koordinat­system. Den logaritmiske skala udmærker sig ved, at værdier inden for et stort talområde kan aflæses med god præcision inden for alle intervaller. Fx kan man på en Siemens tid-strøm karakteristik (afsat i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem) for en 10 A gL/gG neozed sikring aflæse, at sikringen ved en strømstyrke på 20 A smelter over efter 400 sekunder. I det samme koordinatsystem kan man med lignende præcision fastslå, at en 80 A sikring ved en strømstyrke på 2000 A smelter over på kun 0,005 sekunder. Aflæsninger med så stor spændvidde og præcision ville ikke være mulige i et alminde­ligt lineært koordinatsystem, hvis graferne skulle holde sig inden for fx et stykke A4-papir.

Denne artikel handler om, hvordan den logaritmiske skala er opbygget og hvordan den aflæses.

• Opbygning af en logaritmisk skala
• Aflæsning sådan cirka
• Aflæsning mere præcist

Opbygning af en logaritmisk skala

Det ses i venstre side af diagrammet, at der kan fremtrylles en ny uensartet skalaopdeling, når de enkelte tal på x-aksen føres ud på y-aksen, hvor kurven y = log x skæres. Den herved dannede skala kaldes for en logaritmisk skala.

Princippet for opbygning af den logaritmiske skala. Den logarit­mis­ke skala, der ses ude til venstre, har ikke lige stor afstand mellem lige store talinter­val­ler, som det fx tydeligt fremgår ved sam­men­ligning af afstanden mellem 1 og 2, henholdsvis 9 og 10.

På en lineær skala er afstanden, målt fx i cm, lige stor mellem lige store talintervaller. En målt afstand mellem 10 og 20 vil være den samme som mellem 130 og 140, da begge talpar udgør et talinterval på 10.

På en logaritmisk skala forholder det sig anderledes. På en logaritmisk skala måles en enslydende afstand mellem talintervaller, der udgør lige store forhold. Med et centimetermål vil der kunne måles den samme afstand mellem 2 og 1 og mellem 8 og 4, da forholdene mellem de to talintervaller er ens: 2/1 = 2 og 8/4 = 2. Den samme afstand må følgelig også kunne måles mellem 10.000 og 5.000!

Logaritmiske skalaer udgøres af et antal dekader, dvs intervaller mellem to på hinanden følgende potenser af 10. Skalaen kan fx dække et område fra 10^-3 til 10⁴ (0,001 til 10.000).

Aflæsning sådan cirka

Tallene 5, 50, 500 osv ligger godt 70 % oppe i deres respektive dekader, altså lidt mere end to tredjedele oppe.

Lidt under midten i en dekade på en logaritmisk skala befinder sig 3, 30, 300 osv.

Aflæsning mere præcist

Placering af given værdi på skalaen

Det ønskes at aflæse en sikrings smeltestrøm ved tiden 5 sekunder, hvor der imidlertid ikke er en hjælpelinje at gå ud fra. Havde der været tale om en lineær skala ville 5 ligge præcis mellem 4 og 6. På en logaritmisk skala kan den geometriske midte mellem to punkter udregnes som kvadratroden af endepunkternes produkt, altså i dette tilfælde kvrod (4 · 6) = 4,90. Hvor skal 5 placeres på den logarit­miske skala?

Udsnit af smeltetidskurver i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Tiden 5 se­kunder be­find­er sig på y-aksen et sted mellem 4 og 6, men hvor mere præcist?

Logaritmen til 5 er ca 0,70. Ved at gange dekadens målte 25 mm med 0,70 findes, hvor langt oppe fra dekadens start 5 skal afsættes. Regnestykket giver en afstand af ca 17,5 mm.

Logaritmen til 50 er 1,70, til 500 er den 2,70 osv. Hvis en dekadeafstand multipliceres med disse tal, er det 10⁰, der danner udgangspunkt for den eftersøgte afstand. Men som det ses er decimalerne ved både 5, 50, 500... enslydende, og hvis der ses bort fra heltallet, og altså blot ganges med decimalerne, er det den aktuelle dekades start, der skal måles fra.

Logaritmen til 0,5 er -0,30 og logaritmen til 0,05 er -1,30. Igen er det 10⁰, der danner udgangspunkt for udmålingen. Hvis der ses bort fra heltallet tages målet fra øverst i den aktuelle dekade og nedefter. 0,5, 0,05 osv skal altså afsættes 30 % af en dekadeafstand nedefter, hvilket passer som fod i hose med at gå 70 % op fra dekadens start, som nævnt ovenfor.

Aflæsning af given værdi

Strømstyrken i det udvalgte punkt på kurven ligger et sted mellem 1000 og 2000 A, men hvad er strømværdien sådan mere præcist?

For beregningsmæssigt at finde strømstyrken ved det udvalgte punkt, skal den aktuelle dekades startværdi (her 10³) ganges med 10 opløftet i forholdet mellem den målte afstand ud til målepunktet og den målte afstand i en dekade. Resultatet er altså som følger:

1000 · 10(11,8/50) = 1722 A

• Decibel

• Tiden krymper! [Jørgen Ebert]
• Logaritmisk skala [DMU]