Artikler

Robot
Netværk
Tele
Installationer
Lys
Komponenter
Elektronik
Cases
Håndværk
Elektroteknik
Historien
Af interesse

Diverse

Tilpasset søgning

Kirchhoff's love

Dokument oprettet:	24 Sep 2005
Senest ændret:	24 Apr 2021
Forfatter:	Cubus

Lige siden Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) omkring 1845 fremsatte sine to love om strømme og spændinger i elektriske kredsløb, har bøger om elteknik haft de Kirchhoff'ske læresætninger som fast inventar. Fra at kende ordlyden af Kirchhoff's love og til at bruge dem i praksis kan en nærmere instruktion imidlertid være påkrævet.

Denne artikel giver et eksempel på beregning på et simpelt kredsløb vha Kirchhoff's love. Efterfølgende efterprøves resultaterne ved en konkret måling.

Kirchhoff's 1. lov
Kirchhoff's 2. lov
Brug af Kirchhoff's love
Udregning "i hånden"
Udregning på regnemaskine
Måling med multimeter

Kirchhoff's 1. lov

Her en formulering af Kirchhoff's første lov, også kaldet strømloven:

Støde flere Ledere sammen i et Punkt, vil den algebraiske Sum af deres Strømstyrker være Nul. Herved regnes Strømmene med Fortegn, saaledes at de Strømme, der gaa til Punktet, have modsat Fortegn af dem, der gaa fra Punktet. Sætningen kan derfor ogsaa udtrykkes saaledes, at Summen af de Strømme, der løbe til Punktet, er lig Summen af dem, der løbe fra Punktet [L. Ernst: Elektricitet og Magnetisme, 1897].

Kirchhoff's 2. lov

Kirchhoff's anden lov, spændingsloven, udtrykkes således:

I ethvert lukket Kredsløb er Summen af de elektromotoriske Kræfter lig Summen af Produkterne af Strømstyrke og Ledningsmodstand i de enkelte Dele af Kredsløbet. Hele Kredsløbet maa herved gennemgaas med eller mod Uret, og Strømme og elektromotoriske Kræfter maa regnes med Fortegn, nemlig positive, naar de gaa i samme Retning som den, hvori man ved Gennemgangen passerer den enkelte Ledningsdel, og ellers negative [L. Ernst: Elektricitet og Magnetisme, 1897].

Brug af Kirchhoff's love

Nedenfor ses et elektrisk kredsløb med nogle spændingskilder (elektromotoriske kræfter) og nogle modstande. Med udgangspunkt i Kirchhoff's love kan strømstyrkerne i kredsløbet regnes ud. I samme udregning opklares det, hvilken retning strømmene har.

Et elektrisk kredsløb med modstande og elektromotoriske kræfter. Hvor store er strømmene i de tre grene og hvilken retning har de?

Til løsning af opgaven tages der udgangspunkt i et knudepunkt, her knudepunktet A, og der gættes på nogle strømretninger. Det er ligegyldigt, om de vilkårligt valgte strømretninger er rigtige eller forkerte. For den sags skyld kan der gættes på, at samtlige strømme går mod knudepunktet A. Som følge af Kirchhoff's 1. lov må strømmene, der går derfra, så være lig nul.

Hvilken retning strømmene har vil røbe sig efter udregningerne: hvis resultatet er positivt er den valgte strømretning korrekt. Hvis resultatet derimod bliver negativt er strømretningen modsat den valgte.

Der er gættet på nogle strømretninger i de 3 strømveje, der er forbundet til knudepunktet A.

Kredsløbet skal nu deles op i et antal lukkede masker eller sløjfer (loops). Et loop er en lukket strømvej (strømvejen starter og slutter samme sted) rundt i kredsløbet. En maske er ligeledes et loop, men der er yderligere den betingelse, at den lukkede strømkreds ikke omslutter andre loops eller masker. Den sproglige skelnen er ikke af betydning i dette tilfælde, men er fx relevant ved brug af andre metoder som maskestrømsmetoden.

Nedenfor ses kredsløbet delt op i 2 masker. Det er ikke nødvendigt med mere end 2 masker i dette tilfælde, fordi alle grene i kredsløbet derved bliver berørt. Det ene lukkede kredsløb kunne også have været lagt sådan, at det kom til at dække R₁, E₁, E₃ og R₃. Alle grene ville stadig være dækket ind. Rent sprogligt ville der i sidstnævnte tilfælde være tale om et loop eller en sløjfe, men ikke en maske. Pilespidserne på de skitserede (stiplede) masker angiver en valgt regneretning. Regneretningen er lige så vilkårligt valgt, som tilfældet var med strømpilene.

Kredsløbet er delt op i to masker. Ved opstilling og løsning af 3 ligninger med 3 ubekendte, på baggrund af valgte regne- og strømretninger, kan strømmenes størrelse og retning regnes ud.

Det er blevet tid til at opstille 3 ligninger baseret på Kirchhoff's love. Først en ligning baseret på den 1. lov, at de strømme der går mod et knudepunkt må svare til de strømme der går derfra. Ligningen opstilles med udgangspunkt i punktet A. Det ses, at I₁ og I₃ går til knudepunktet A, mens I₂ går derfra.

1) I₁ + I₃ = I₂

Den næste ligning bygger på Kirchhoff's 2. lov og tager udgangspunkt i masken til venstre. Summen af de elektromotoriske kræfter i et lukket kredsløb er lig med summen af produkterne af strømstyrke og modstand var ordene. Der gås hele vejen rundt i masken ved optælling af elektromotoriske kræfter og modstande. Hvis strømretning (ved en modstand) eller spændingsretning (en spændingspil for en elektromotorisk kraft tegnes med pilespidsen rettet mod den positive pol) svarer til den valgte regneretning er størrelsen positiv, ellers negativ.

2) -E₁ + E₂ = R₁ · I₁ + R₂ · I₂

Det var udelukkende spændingskilden E₁, der vendte mod regneretningen. Samme fremgangsmåde ved masken til højre.

3) -E₂ - E₃ = -R₂ · I₂ - R₃ · I₃

Her vendte det hele mod regneretningen. Der haves nu et ligningssystem bestående af 3 ligninger med 3 ubekendte, som skal løses.

1) I₁ + I₃ = I₂
2) -E₁ + E₂ = R₁ · I₁ + R₂ · I₂
3) -E₂ - E₃ = -R₂ · I₂ - R₃ · I₃

Udregning "i hånden"

De kendte størrelser indsættes, dvs modstandsværdierne og de elektromotoriske kræfter.

1) I₁ + I₃ = I₂
2) -5,0 + 2,8 = 220 · I₁ + 150 · I₂
3) -2,8 - 9,5 = -150 · I₂ - 330 · I₃

2) -2,2 = 220 · I₁ + 150 · I₂
3) -12,3 = -150 · I₂ - 330 · I₃

I ligning 1 isoleres I₁ med henblik på komme af med en ubekendt i ligning 2, hvor I₁ erstattes (indsættelses- eller substitutionsmetoden).

1) I₁ + I₃ = I₂ ⇔
1) I₁ = I₂ - I₃

2) -2,2 = 220 · I₁ + 150 · I₂ ⇔
2) -2,2 = 220 · (I₂ - I₃) + 150 · I₂ ⇔
2) -2,2 = 220 · I₂ - 220 · I₃ + 150 · I₂ ⇔
2) -2,2 = 370 · I₂ - 220 · I₃

Ligning 2 ganges igennem med 1,5 med henblik på at få enslydende koefficienter for I₃ i ligning 2 og ligning 3. Herefter kunne man fx trække ligning 2 og ligning 3 fra hinanden og således ende op med kun én ubekendt. Denne fremgangsmåde kaldes for "lige store koefficienters metode".

2) -2,2 = 370 · I₂ - 220 · I₃ ⇔
2) -3,3 = 555 · I₂ - 330 · I₃ (ganget igennem med 1,5)

I stedet for anvendelse af nævnte "lige store koefficienters metode", isoleres I₃-leddene i de to ligninger og substitutionsmetoden anvendes for udregning af den første ubekendte strøm.

2) -3,3 = 555 · I₂ - 330 · I₃ ⇔ 2) 330 · I₃ = 3,3 + 555 · I₂

3) -12,3 = -150 · I₂ - 330 · I₃ ⇔ 3) 330 · I₃ = 12,3 - 150 · I₂

   3,3 + 555 · I₂ = 12,3 - 150 · I₂ ⇔
   705 · I₂ = 9 ⇔
   I₂ = 0,0128 A = 12,8 mA

Resultatet for I₂ er positivt, hvilket betyder, at den på forhånd vilkårligt valgte strømretning var korrekt. I₃ findes vha ligning 2.

2) -3,3 = 555 · I₂ - 330 · I₃ ⇔
2) -3,3 = 555 · 0,0128 - 330 · I₃ ⇔
2) I₃ = 0,0315 A = 31,5 mA

Resultatet for I₃ er positivt, så også her var strømretningen angivet på diagrammet korrekt. Slutteligt findes I₁ vha ligning 1.

1) I₁ + I₃ = I₂ ⇔
1) I₁ + 0,0315 = 0,0128 ⇔
1) I₁ = -0,0187 = -18,7 mA

Resultatet er negativt, altså er strømretningen modsat den retning, som valgtes vilkårligt til at starte med.

Strømmenes størrelser og retninger er blevet udregnet. Det viste sig,
at en enkelt strømretning, I₁ var forkert valgt. På diagrammet er de korrekte strømretninger indtegnet.

En alternativ metode til løsning af et lineært ligningssystem er den såkaldte Gauss elimination.

Udregning på regnemaskine

Det bliver hurtigt træls med de manuelle udregninger, ikke mindst hvis udregningen nødvendiggør mange masker og ubekendte. På mere avancerede regnemaskiner, som fx TI-89, kan løsningen på elegant vis findes ved at sætte alle koefficienterne til de ubekendte ind i en matrix.

Metode 1, brug af matrix

Leddene i de 3 ligninger i ligningssystemet opstilles så de passer efter skabelonen i regnemaskinens matrix. Det vil i dette tilfælde resultere i følgende ligningssystem:

1) I₁ - I₂ + I₃ = 0
2) 220 · I₁ + 150 · I₂ = -2,2
3) -150 · I₂ - 330 · I₃ = -12,3

Følgende er værd at bemærke ved indtastning i regnemaskinen:

Der skal (naturligvis) medtages fortegn på koefficienterne.
Når der ikke direkte står en koefficient foran en ubekendt, som det fx er tilfældet ved strømmene I₁ til I₃ i ovenstående ligning 1, er der et underforstået 1-tal.
Hvis en ubekendt ikke indgår i en af ligningerne, fx indgår I₃ ikke i ovenstående ligning 2, så er koefficienten 0.

Det opstillede ligningssystem resulterer i nedenstående indtastning i TI-89's matrix:

Koefficienterne til de 3 ligningers ubekendte er sat ind i en matrix i grafregneren TI-89 Titanium.

Som det ses på ovenstående billede betegnes koefficienterne til de ubekendte i TI-89-maskinen med "a", konstantleddet med "b", mens ubekendte benævnes "x".

Ved tryk på en knap (F5) har regnemaskinen løst ligningssystemet. x₁ svarer til I₁ osv.

Metode 2, brug af "solve"

I TI-89 kan ligningssystemet også løses ved nedenstående indtastning i den almindelige regnedel af grafregneren. Ved "solve"-metoden er der ikke noget krav om at ordne ligningerne på en bestemt form, sådan som tilfældet var med ovenstående matrix-metode.

solve(x+z=y and -2.2=220x+150y and -12.3=-150y-330z,{x,y,z})

Indtastningen giver følgende output efter tryk på ENTER:

x=-.0187040619 and y=.0127659574 and z=.0314700193

Regnefunktionen solve findes i menuen, der kommer frem ved tryk på F2, når maskinen er i den almindelige regnedel, og den boolske operator and findes blandt mulighederne ved tryk på tasten CATALOG. Bemærk også, at der er anvendt tuborg-klammer omkring de ubekendte, der skal udregnes {x,y,z}. Endvidere skal der ved indtastning skelnes mellem punktum- og kommatast, og de bogstaver, som gør det ud for de ubekendte, som fx x, y og z, må ikke være tildelt et tal. Tildelinger af tal til bogstaver fjernes ved tryk på F6-tasten, hvorved følgende valgmulighed fremkommer 1:clear a-z.

Måling med multimeter

Holder Kirchhoff's love nu også i praksis? Nedenfor ses et skema, hvor strømstyrkerne er målt, dels ved at indskyde et multimeter som amperemeter i hver af de 3 grene, dels ved at måle spændingen over hver modstand og ved division med modstandens pålydende værdi nå frem til en strømstyrke.

Beregnede og målte strømme
	I₁ / mA	I₂ / mA	I₃ / mA
Beregning vha Kirchhoff's love.	18,7	12,8	31,5
Målt strømstyrke med multimeter.	18,4	12,0	30,0
Målt spænding over modstand divideret med modstandsværdi.	18,5	12,2	30,7

Det ser ikke helt tosset ud. Man kan forestille sig følgende årsager til uoverensstemmelserne mellem de teoretiske og praktiske resultater:

Måleapparatets præcision.
Der er ikke taget hensyn til spændingskildernes indre modstand i de teoretiske beregninger.
Modstandenes ohmske størrelse ligger inden for en tolerance af deres pålydende værdi.
Når der inskydes et amperemeter i en ledning, så svarer det til at indskyde en lille modstand, hvorfor strømmen mindskes ved måling.
Når et voltmeter sættes parallelt over en modstand for at måle spændingsfaldet over samme, bliver den samlede modstand mindre, hvorfor strømmen forøges.

Interne links til emner i denne artikel:

Eksterne links til emner i denne artikel:

When to use Kirchoff's laws [MSU Physics and Astronomy Department]
Kirchoff's Laws [PhysicsLAB] (interaktive animationer)
How to Apply Kirchoff's Laws [Wayne State University]
Gustav Robert Kirchhoff [The MacTutor History of Mathematics archive]
Matricer og lineære ligninger med inddragelse af lommeregner (Ti89) [Mogens Oddershede Larsen] (pdf)

Home