Beregninger på en modstandsterning

Dokument oprettet:	16 Okt 2007
Senest ændret:	24 Apr 2021
Forfatter:	Cubus

Hvor stor er modstanden mellem to diagonale hjørner på en terningstruktur, hvis 12 kanter er bygget op af 12 ens modstande, fx 12 modstande på 1 ohm? Vil modstanden mellem de to punkter være større eller mindre end 1 ohm?

Når kredsløbet tegnes op er der både serie- og parallelforbindelser, men det kan ikke lade sig gøre på simpel vis at reducere disse forbindelser til en 'erstatningsmodstand'. Hvordan kan den ækvivalente modstand regnes ud?

Beregning ved knudepunktsmetoden
Beregning ved maskestrømsmetoden
Beregning ved masker og loops

Beregning ved knudepunktsmetoden

Knudepunktsmetoden egner sig både til beregning på elektriske kredsløb, der kan tegnes i planet, og kredsløb, der udstrækker sig i rummet.

På terningen nedenfor er knudepunkterne navngivet. Et hjørne på terningen er valgt som nulpunkt. Hjørnet diagonalt overfor er, af hensyn til beregningerne, forbundet til en strømgenerator, der leverer fx 1 A (en strømgenerator er karakteriseret ved at levere en konstant strøm uafhængig af belastningen, til forskel fra en spændingsgenerator, der leverer en konstant spænding).

Ved løsning af det ligningssystem, der opstilles ved knudepunktsmetoden, opnås der viden om potentialerne i de forskellige knudepunkter i forhold til det fastsatte nulpunkt. Herefter kan spændingsforskellen mellem nulpunktet og det diagonalt modstående hjørne deles med den valgte strømstyrke ind i kredsløbet, hvorved den resulterende modstand mellem de to hjørner bestemmes, jf Ohms lov.

Det ene hjørne på modstandsterningen er valgt som nulpunkt og de øvrige knudepunkter er navngivet V₁ til V₇. Knudepunktet diagonalt over for det valgte nulpotentiale er tilsluttet en strømgenerator, der fx vælges med en strømstyrke på 1 ampere.

Opskrevet med symboler, kommer ligningssystemet for de 7 knudepunkter til at se ud som nedenstående. Ligningerne bygger på Kirchhoff's strømlov, hvilket er nærmere beskrevet i opslaget om knudepunktsmetoden. I opskrivningen af de enkelte ligninger antages strømmene at gå bort fra det knudepunkt, der skrives en ligning for. Dette er årsagen til at I_DC bliver skrevet med negativt fortegn i ligningen for knudepunktet V₁. Strømgeneratoren sender, som det ses på billedet ovenfor, strømmen mod dette knudepunkt.

Det er i artiklen om Kirchhoff's love beskrevet, hvordan et ligningssystem med flere ubekendte kan løses, ved håndkraft eller med regnemaskine.

I dette eksempel antages alle modstandene at være på 1 ohm og I_DC sættes til 1 ampere. Ligningssystemet for den aktuelle modstandsterning under disse forudsætninger bliver som følger.

Løsning af ligningssystemet giver følgende potentialer i de forskellige knudepunkter, som nævnt under forudsætning af, at der sendes en strømstyrke på 1 A gennem de diagonale hjørner på modstandsterningen.

Den ækvivalente erstatningsmodstand bestemmes.

Beregning ved maskestrømsmetoden

Maskestrømsmetoden kræver, at kredsløbet, der skal regnes på, kan udlægges i planet. Dvs, at kredsløbet skal kunne tegnes op, uden at nogle ledningsforbindelser krydser andre ledningsforbindelser. Det kan godt lade sig gøre at tegne selve modstandsterningen i planet uden at nogle ledningsveje krydses, men det lader sig ikke gøre også at forsyne to diagonale hjørner med en spændingskilde uden krydsninger. Maskestrømsmetoden er derfor ikke egnet.

Beregning ved masker og loops

Opgaven kan løses ved anvendelse af principperne nævnt i artiklen om Kirchhoff's love. Dvs der udlægges et antal masker og loops så alle strømveje i kredsløbet er dækket ind. Herefter gættes der på nogle strømretninger i knudepunkterne. Slutteligt opstilles et sæt ligninger baseret på Kirchhoff's spændings- og strømlov.

Der er udlagt et antal masker og loops (a-f) med en valgt regneretning, så alle strømveje er dækket ind. Endvidere er der forbundet en spændingskilde, fx valgt med en spænding på 1 volt, mellem to diagonale hjørner på den udfladede modstandsterning. Der er gættet på nogle strømretninger i alle knudepunkterne (0 og V₁ til V₇). Det resulterer i ikke mindre end 13 ukendte strømme, I₁ til I₁₃.

Det er strømstyrken I₁, der har interesse. Spændingforsyningen på ovenstående tegning vælges fx til at være på 1 volt. Ved at bestemme strømstyrken I₁ gennem spændingskilden, kan den ækvivalente modstand mellem to diagonale hjørner udregnes vha Ohms lov.

For at finde 13 ubekendte kræves 13 uafhængige ligninger. De første 6 ligninger opstilles vha Kirchoff's spændingslov ud fra de 6 strømsløjfer, a til f, der er optegnet.

De sidste 7 af de 13 ligninger dannes vha Kirchhoffs strømlov. Strømloven, der siger, at de strømme der går mod et knudepunkt må svare til de strømme der går derfra, opstilles for 7 af knudepunkterne (V₁ til V₇).

Løsningen af ligningssystemet, hvor -E_DC sættes til -1 V, og alle modstandsværdierne sættes til 1 Ω, er en strømstyrke I₁ på 6/5 A.

Den ækvivalente modstand mellem to diagonale hjørner udregnes.

I en modstandsterning, opbygget af 12 ens modstande, vil den ækvivalente modstand mellem to diagonale hjørner altid være på 5/6 dele af en enkelt modstands størrelse.

Se eksterne links for en simplere ligningsopstilling med kun 6 ligninger samt en (hurtig) løsning af problemet baseret på logisk tankegang.

Interne links til emner i denne artikel:

Eksterne links til emner i denne artikel:

The Resistor Cube Problem [David Randall] (pdf)
Resistive Cube [ilovephysics.com]
Resistor cube [DTU]

Home